Cada 15 días, ofrecemos un nuevo acertijo para poner a prueba tu razonamiento lógico-matemática. Las soluciones son publicadas en la misma nota una semana después.
Acertijo 1
Carlos vive solo y llega a la noche apurado a su casa, después de su trabajo, con un apetito aterrador. En ese momento recuerda que a la mañana puso la nueva llave de su casa, sin discriminar, en el llavero de su cintura, que contiene muchas llaves más, todas iguales, tipo Yale.
Como la promesa de un bife con huevos fritos y papas lo tortura, Carlos quiere entrar a su casa lo más rápidamente que pueda.
Se desea saber cuál estrategia de selección de llaves será más eficiente:
- Probar “a lo loco”, desesperadamente, una llave de su llavero en la cerradura.
- Probar cada llave de a una y descartar la que no sirve.
. Si no se toma ninguna medida y se prueba con las llaves del llavero sin ton ni son, resultará que en cada prueba la probabilidad de acertar será invariablemente igual a 
.
Acertijo 2
Sea p un número primo mayor que 3.
Probar que 24 divide a p2 – 1.
(1)
(2)
denota el producto de dos números naturales consecutivos, que será fatalmente divisible por 2. Luego 
será divisible por 8.
, se puede decir legítimamente lo siguiente:
puede ser divisible por 3 o no. Si lo es, nada habrá que demostrar. Pero si no lo es, los restos de la división de 
será divisible por 3.
y 3 dividen a 
.
, divide también a 
, divide a
Acertijo 3
La teselación y sus muchas propuestas.
“Teselar” es un verbo que significa cubrir y viene del latín tessela. Por ejemplo: cubrir un piso con mosaicos es teselar el piso. Decorar un friso cubriéndolo con celdas de formas diversas, también es teselar.
Naturalmente, hay otras superficies no planas que interesa teselar.
Por muchos y diversos motivos, el problema de la teselación ha despertado gran interés en el mundo contemporáneo de las matemáticas.
Al respecto, el cubrimiento decorativo con mosaicos de todo tipo se puede admirar en muchas obras de la cultura mora, como este teselado en mayólicas que existe hoy en los interiores de muchas casas de familia de Europa o de nuestra América del Sur, o en edificios que tienen esa inspiración:
Por supuesto, los ejemplos de teselados de otras culturas son muchos. Como los teselados romanos:
O los siguientes teselados andaluces:
Y no se puede dejar de mencionar el teselado en obras más recientes, como las que encaró el artista neerlandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972).
Las teselaciones del plano son, quizás, las más sencillas: las que se generan a partir de algunos polígonos regulares. Por ejemplo, inmeditamente abajo se presentan tres teselaciones del plano, de izquierda a derecha, usando triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.
Todos hemos visto embaldosados con losetas triangulares, o bien, los más comunes, formados con baldosas cuadradas o hexagonales.
Entre estos tres teselados elementales, la trama del teselado con hexágonos regulares aparece en algunas situaciones especiales que en principio parecen algo desconectadas entre sí, por ejemplo:
En la manufactura textil, a escala industrial o casera, gracias al llamado punto jersey, constituido por una abigarrada red de pequeños hexágonos regulares entrelazados. Estos minihexágonos se pueden ver con el auxilio de una lupa, tomando el tejido y observando sus celdas de cerca.
En la construcción y diseño de enormes espejos para telescopios espaciales como el Telescopio Espacial James Webb, donde sus celdas hexagonales se apoyan en una superficie levemente combada, como es la cúspide de un paraboloide de revolución:
Y por último, en la arquitectura natural usada por las abejas en la construcción de sus panales, que será destinada luego para la custodia de su miel.
Acertijo:
Demostrar que, de todos los polígonos regulares, solamente hay tres que teselan con sus celdas el plano. Ellos son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
La demostración del problema 3 es más sencilla de lo que alguien podría pensar. Se sugiere concentrarse en los vértices de los polígonos candidatos. No hay que tener miedo de dibujar polígonos regulares sobre un papel y cortarlos con una tijera, para ver qué es lo que sucede.
Acertijo 4
Sean dados un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono regular, los tres de área 1. Probar que el perímetro del hexágono regular es menor que el perímetro del cuadrado y el perímetro del triángulo equilátero.
Usando el teorema de Pitágoras para h, podemos deducir fácilmente que la altura h verifica
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Ricardo Miró
Licenciado en Ciencias Matemática por la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Intervino como tal en el área de Estudios Especiales de la petrolera argentina YPF, SE. Luego se desempeñó en el Área Estadística de la Corte Suprema de Justicia de Argentina. Posee varios trabajos publicados centrados en las aplicaciones de las ciencias matemáticas.
Ricardo, amigo, siempre fui una bestia peluda en matemática, pero creo que saqué ambos acertijos bastante rápido. El de las llaves tipo Yale, si Carlos añadió la llave nueva a su llavero a la mañana, ésta solo puede estar en alguno de los dos extremos del conjunto de llaves. De modo que la búsqueda de la llave correcta no es muy a lo loco, sólo hay que comprobar dos. Bife con huevos garantizado. En cuanto al valor de p para satisfacer la ecuación, supongo que es 7, porque su cuadrado da 49 y restando 1 se llega a 48. Si lo saqué yo, lo saca casi cualquiera que esté promediando la escuela secundaria. En cuanto al newsletter, me parece bueno de contenidos y de buen diseño. Te vas a divertir, creo, y contribuir a la cultura científica de la región. Yo también trabajo ad-honorem en AgendAR, así que te entiendo.
Hola, Daniel!!!! Muchas gracias por haber interervenido en el análisis y la lectura de esta columna!!!! Después discutimos, si querés lo que pusiste acerca de los acertijos… Te mandé el link de CdS para que lo vieras, y observes la polenta que tiene esta gente!!! No entiendo cómo Agendar no considera tu larga trayectoria. Muhcas gacias por haberte metido en CdS.!!!!! RM
Acertijo 1: Probar con la última llave que está más cerca del punto donde se insertan las llaves (ej. puntas de la cuerda o el llavero), esa tendría que ser la última llave si no quitó ninguna otra antes.
Acertijo 2: p=5
p2 – 1 = 5^2 – 1 = 24/24 = 1
Estimada Gianina: muchas gracias por participar en esta columna. Sos la primera en hacerlo, y el hecho me descoloca un poco, en el sentido operativo de tal verbo. Necesito explicarte por qué.
Resulta que recién empiezo a colaborar con CdS , y estoy muy poco canchero con su modus operandi interno. He hablado bastante con Daniel, quien me ha explicado como piensa organizar las respuestas a los acertijos de una manera orgánica y sistemática. Por eso, si te contestaea por este medio ahora, es posible que destruya los planes editoriales con respecto a la implementacion especificas de las respuestas.
Te ruego entonces que tengas un poquito de paciencia y esperes unos pocos dias más, a lo sumo cuatro o cinco dias más.
Sería bárbaro que no te borres de esta columna. Como sugerencia primaria me animaría a decirte que pienses otra vez el acertijo 2. Y te repito. Muchas gracias por participar. Quedate cerca porque entre todos vamos a emprender un viaje muy interesante.
Acertijo 2
https://imgur.com/ZlaKYnc
Hola John!!
Muchas gracias por participar en la columna.
En tu respuesta, aprece un link que muestra un ejercicio solamente parecido al aquí tratado. Y es parecido (en realidad es distinto) pues tu ejercicio agrega hipótesis adicionales a la única que ofece el ejercicio 2 de esta columna, que consiste únicametne en considerar a p como primo mayor que 3.
De todas maneras tu aporte es valioso, pues será analizado cuando el Editor largue al aire, dentro de algunos dias, las respuestas a los dos ejercicios. Sería muy piola para todos, muy interesante, que no te borres y que sigas en contacto con esta columna.. De vuelta, muchas gracias por tu envío!!!
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